Question

已知：如图，抛物线y=ax 2 -2ax+c(a≠0) 与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）。

已知：如图，抛物线y=ax 2 -2ax+c(a≠0) 与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）。 （1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ当△CQE的面积为3时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线 l 与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）。问：是否存在这样的直线 l ，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）由题意，得          解得     ∴所求抛物线的解析式为 （2）设点Q的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G        由 ，得      ∴点B的坐标为（-2，0）      ∴AB=6，BQ= m +2      ∵QE∥AC， ∴△BQE∽△BAC       ∴   即      ∴      ∴                                                                                                      ∴       ∴   ∴m=1   ∴Q(1，0) （3）存在。         在△ODF中， (i)若DO=DF，∵A(4,0),D(2,0)，∴AD=OD=DF=2        又在Rt△AOC中，OA=OC=4，∴∠OAC= 45°       ∴∠DFA=∠OAC= 45°∴∠ADF=90°此时，点F的坐标为（2，2）        由 ，得      此时，点P的坐标为：P( ，2 )或P( ，2 )      (ii)若FO=FD，过点F作FM⊥ 轴于点M，       由等腰三角形的性质得：OM= OD=1,∴AM=3       ∴在等腰直角三角形△AMF中，MF=AM=3   ∴F(1，3)       由 ，得      此时，点P的坐标为：P( )或P（ )    （iii）若OD=OF，∵OA=OC=4,且∠AOC=90?,∴AC= 4       ∴点O到AC的距离为2 ,而OF=OD=2＜2      此时，不存在这样的直线 l ，使得△ODF是等腰三角形。      综上所述，存在这样的直线 l ，使得△ODF是等腰三角形.所求点P的坐标为：      P( ，2 )或P( ，2 ) 或P( )或P（ )