Question

设函数 f(x)= 1 x-1 -1 ．（Ⅰ） 求函数f（x）的定义域和值域；（Ⅱ） 证明函数f（x）在（1，+

设函数 f(x)= 1 x-1 -1 ．（Ⅰ） 求函数f（x）的定义域和值域；（Ⅱ） 证明函数f（x）在（1，+∞）上为减函数．

Answer 1

（Ⅰ）令分母x-1≠0解得x≠1，故穗返定义域为{x|x≠1} ∵ f(x)= 1 x-1 -1 ，由于x-1≠0， 故 1 x -1 ≠0 故 1 x -1 -1≠-1 ， ∴ f(x)= 1 x-1 -1 的值域是（-∞，-1）∪（1，+∞）； （Ⅱ）证明：在（1，+∞）上任取两个值x 1 ，x 2 且x 1 ＜x 2 f（x 1 ）-f（x 2 ）=（ 1 x 1 -1 -1 ）-（ 1 x 2 -1 -1 ） = x 2 - x 1 (x 1 -1)( x 2 -1) ∵1＜x 1 ＜x 2 ∴猜颤饥x 2 -x 1 ＞0，x 1 -1＞0，x 2 -1＞0， ∴f（洞碰x 1 ）-f（x 2 ）＞0即f（x 1 ）＞f（x 2 ） ∴函数f（x）在（1，+∞）上是减函数．