Question

如图，P是抛物线C：y= x 2 上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q，（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直

如图，P是抛物线C：y= x 2 上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q，（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求 的取值范围。

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Answer 1

解：（Ⅰ）设P(x 1 ，y 1 )，Q(x 2 ，y 2 )，M(x 0 ，y 0 )， 依题意x 1 ≠0，y 1 ＞0，y 2 ＞0， 由y= x 2 ， ① 得y′=x， ∴过点P的切线的斜率k 切 =x 1 ， ∴直线l的斜率k l = ， ∴直线l的方程为 ， 联立①②消去y，得 ， ∵M是PQ的中点， ∴ ， 消去x 1 ，得 ， ∴PQ中点M的轨迹方程为 ； （Ⅱ）设直线l：y=kx+b， 依题意k≠0，b≠0，则T(0，b)， 分别过P、Q作PP′⊥x轴，QQ′⊥y轴，垂足分别为P′、Q′， 则 ， 由 消去x，得y 2 -2(k 2 +b)y+b 2 =0， ③ 则y 1 +y 2 =2(k 2 +b)，y 1 y 2 =b 2 ， ∴ ， ∵y 1 、y 2 可取一切不相等的正数， ∴ 的取值范围是（2，+∞）。