Question

甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人中的概率分别为0.4，0.5，0.7．飞机被一人击中而被击落的概率为0

甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人中的概率分别为0.4，0.5，0.7．飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落．求飞机被击落的概率．

Answer 1

设A₁、A₂、A₃分别表示甲、乙、丙击中飞机，B_i（i=0，1，2，3）表示有i个人击中飞机，H表示飞机被击落．
则A₁、A₂、A₃独立，且
B₀=

.

A1

.

A2

.

A3

，
B₁=A1

.

A2

.

A3

+

.

A1

A2

.

A3

+

.

A1

.

A2

A3，
B₂=A1A2

.

A3

+

.

A1

A2A3+A1

.

A2

A3，
B₃=A₁A₂A₃，
于是，
P（B₀）=（1-0.4）×（1-0.5）×（1-0.7）=0.09，
P（B₁）=0.4×（1-0.5）×（1-0.7）+（1-0.4）×0.5×（1-0.7）+（1-0.4）×（1-0.5）×0.7=0.36，
P（B₂）=0.4×0.5×（1-0.7）+（1-0.4）×0.5×0.7+0.4×（1-0.5）×0.7=0.41，
P（B₃）=0.4×0.5×0.7=0.14．
依题意有：
P（H|B₀）=0，P（H|B₁）=0.2，P（H|B₂）=0.6，P（H|B₃）=1，
于是，由全概公式有：
P（H）=

3

i＝0

P(H|Bi)P(Bi)
=0.09×0+0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1
=0.458．