Question

（2014?石景山区二模）如图，在△ABC中，∠BCA=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点．（1）求证

（2014?石景山区二模）如图，在△ABC中，∠BCA=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点．（1）求证：直线PQ与⊙O相切；（2）连结PO并延长交⊙O于点E、交AC的延长线于点F，连结PC，若OC=5，tan∠OPC=12，求EF的长．

Answer 1

（1）证明：连结PO、PC，如图，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BPC=90°，
∴∠APC=90°，
又∵Q是AC的中点，
∴PQ=CQ，
∴∠CPQ=∠PCQ，
∵OP=OC
∴∠OPC=∠OCP，
∴∠OPC+∠CPQ=∠OCP+∠PCQ=∠BCA=90°，
∴OP⊥PQ，
∴直线PQ与⊙O相切；、
（2）解：连结CE，如图，
∵EP是直径，
∴∠ECP=90°，即∠ECO+∠OCP=90°，
又∵∠ECO+∠ECF=90°，
∴∠ECF=∠OCP=∠OPC，
而∠F=∠F
∴△FEC∽△FCP，
∴

EF

CF

=

CF

PF

=

EC

PC

，
在Rt△EPC中，tan∠OPC=

EC

PC

=

1

2

，
∴

EF

CF

=

CF

PF

=

1

2

，
∴CF=2EF，PF=2CF，
∴PF=4EF，
∴PE=3EF，
即3EF=2×

5

，
∴EF=

2 5

3

．