Question

高数证明题

Answer 1

x∈(0,π/2)
要证tanx/x>x/sinx
即证sinx/(xcosx)>x/sinx，也就是证(sinx)^2/cosx>x^2。即1/cosx-cosx>x^2
令f(x)=1/cosx-cosx-x^2
f’(x)=sinx+sinx/(cosx)^2-2x,
再令g(x)=sinx+sinx/(cosx)^2-2x
g‘(x)=cosx+1/cosx-2+2(sinx)^2/(cosx)^3
易知1/cosx+cosx>2(1>cosx>0，不等式性质)，2(sinx)^2/(cosx)^3>0，所以g'(x)>0。
得出g(x)在0<x<π/2上是增函数。
有f’(x)=g(x)>g(0)=0
即f(x)在0<x<π/2上也是增函数，f(x)>f(0)=0，即1/cosx-cosx>x^2，所以当0<x<π/2时，tanx/x>x/sinx。