Question

数列{an}中，a1=2，an+1=an+cn（c是不为0的常数，n∈N*），且a1，a2，a3成等比数列．（1）求数列{an}的通

数列{an}中，a1=2，an+1=an+cn（c是不为0的常数，n∈N*），且a1，a2，a3成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=an?cn?cn，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）由已知可知a₂=2+c，a₃=2+3c（1分）
则（2+c）²=2（2+3c）
∴c=2
从而有a_n+1=a_n+2n（2分）
当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+a₃-a₂+…+（a_n-a_n-1）
=2+2×1+2×2+…+2n=n²-n+2（4分）
当n=1时，a₁=2适合上式，因而a_n=n²-n+2（5分）
（2）∵b_n=

an?c

n?cn

=

an?2

n?2n

=

n?1

2n

（6分）
T_n=b₁+b₂+…+b_n=

0

2

+

1

22

+…+

n?2

2n?1

+

n?1

2n

1

2

Tn=

0

22

+

1

23

+…+

n?2

2n

+

n?1

2n+1

相减可得，

1

2

Tn=

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

?

n?1

21+n

=

1 4 (1? 1 2n?1 )

1? 1 2

?

n?1

2n+1

（9分）
∴Tn＝1?

n+1

2n

（10分）