已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,-π2<φ<π2),其部分图象如图所示.(Ⅰ)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,-π2<φ<π2),其部分图象如图所示.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)已知横坐标分别为-1、1、...
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,-π2<φ<π2),其部分图象如图所示.(Ⅰ) 求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)已知横坐标分别为-1、1、5的三点M、N、P都在函数f(x)的图象上,记∠MNP=θ,求cos2θ的值.
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解答:解枝睁:(Ⅰ)由图可知,哗哪A=1,…(1分)
且f(x)的最小正周期T=2[3-(-1)]=8,
∴ω=
=
…(3分)
又f(1)=sin(
+φ)=1,且-
<φ<
,∴?
<φ+
<
,
∴φ=
.
∴f(x)=sin
(x+1).…(6分)
(Ⅱ)∵f(-1)=sin
(-1+1)=sin0=0.f(1)=sin
(1+1)=sin
=1.
f(5)=sin
(5+1)=sin
=-1,
∴M(-1,0),N(1,1),P(5,-1),…(9分)
∴|MN|=
=
,|MP|=
=
,|PN|=
=
,
∴cos∠MNP=
=
=?
,
即cosθ=?
…(11分),
于是cos2θ=2cos2θ?1=2×(?
)2?1=乱搭码?
.…(12分)
且f(x)的最小正周期T=2[3-(-1)]=8,
∴ω=
2π |
T |
π |
4 |
又f(1)=sin(
π |
4 |
π |
2 |
π |
2 |
π |
4 |
π |
4 |
3π |
4 |
∴φ=
π |
4 |
∴f(x)=sin
π |
4 |
(Ⅱ)∵f(-1)=sin
π |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
f(5)=sin
π |
4 |
3π |
2 |
∴M(-1,0),N(1,1),P(5,-1),…(9分)
∴|MN|=
(1+1)2+(1?0)2 |
5 |
(5+1)2+(?1?0)2 |
37 |
(5?1)2+(?1?1)2 |
20 |
∴cos∠MNP=
MN2+PN2?MP2 |
2MN?PN |
5+20?37 | ||||
2
|
3 |
5 |
即cosθ=?
3 |
5 |
于是cos2θ=2cos2θ?1=2×(?
3 |
5 |
7 |
25 |
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