Question

已知命题P：函数y=loga（1-2x）在定义域上单调递增，命题Q：不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4＜0对任意实数x

已知命题P：函数y=loga（1-2x）在定义域上单调递增，命题Q：不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4＜0对任意实数x恒成立，若P∨Q是真命题，P∧Q是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

若函数y=log_a（1-2x）在定义域上单调递增，根据复合函数的单调性可知0＜a＜1，即P：0＜a＜1．
若不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0对任意实数x恒成立，
当a=2时，不等式等价为-4＜0，成立．
当a≠0时，要使不等式恒成立，则

a?2＜0 △＝4(a?2)2+16(a?2)＜0

，解得-2＜a＜2，
综上：-2＜a≤2，即Q：-2＜a≤2，
若P∨Q是真命题，P∧Q是假命题，
则P，Q一真一假，
若P假Q真，则

a≥1或a≤0 ?2＜a≤2

，解得-2＜a≤0或1≤a≤2．
若P真Q假，则

0＜a＜1 a＞2或a≤?2

，此时无解．
综上：实数a的取值范围是-2＜a≤0或1≤a≤2．