Question

已知函数f(x)=x^(-2m^2+m+3) (m属于Z)为偶函数,且f(3)<f(5) .主要第二问

已知函数f(x)=x^(-2m^2+m+3) (m属于Z)为偶函数，且f(3)<f(5) .
（1）求m的值，并确定f(x)的解析式 （可以省略不答）
（2）若g(x)=log[f(x)-ax](a>0,a不等于1）在区间[2,3]上为增函数，求实数a的取值集合

Answer 1

(1)解:因为函数f(x)=x^-2m^2+m+3是偶函数
所以-2m^2+m+3为偶数
又f(3)<f(5)
即3^-2m^2+m+3<5^-2m^2+m+3
即（3/5）^-2m^2+m+3<1
所以-2m^2+m+3>0
得：-1<m<2/3
又m属于整数
所以m=0或1
当m=0时,-2m^2+m+3=3，不属于整数,舍去。
当m=1时,-2m^2+m+3=2，属于整数，符合题意
综上得：m=1
f(x)=xˆ2
(2)g(x)=loga[f(x)-ax]=loga(x^2-ax)
要求x^2-ax>0，则x>a或者x<0.
当1<a<2时，g(x)在区间[2,3]上为增函数
当a>=2时，此时可能x<=a,x^2-ax<=0导致无意义;
当0<a<1时，g(x)在区间[2,3]上为减函数
所以1<a<2

Answer 2

m=1
f(x)=x²

2、g(x)=log[f(x)-ax]
g(x)=log（x²-ax）=log[（x-a/2)²-a²/4]
令f（x）=[（x-a/2)²-a²/4]
二次函数开口向上，对称轴为x=a/2 最小值为-a²/4
只要f（x）在区间[2,3]上为增函数即可满足题意
即对称轴在区间左边，且f（2）>0
即a/2≤2，且且f（2）>0
得到x<2
所以0<a<2且a不等于1

Answer 3

(2)由（1）知：f(x)=x^2
∴g(x)=log(x^2-ax)=log[x(x-a)]
令u=x(x-a)则函数g(x)是由函数y=log(u)和u=x(x-a)复合而成
①当0＜a＜1时，函数y=log(u)为减函数，
而要使g(x)在区间[2,3]上为增函数
故函数u=x(x-a)在区间[2,3]上为减函数，且
x(x-a)＞0,
∴{a/2≥3 解得：{a≥6
9-3a＞0 a＜3
此时解集为空集
②当a＞1时，函数y=log(u)为增函数，
而要使g(x)在区间[2,3]上为增函数
故函数u=x(x-a)在区间[2,3]上是增函数，且
x（x-a)＞0
∴{a/2≤2 解得：{a≤4
4-2a＞0 a＜2
此时交集得：1＜a＜2
综上所述a的取值集合为{a|1＜a＜2}