Question

求一个正交变换 x=py 把二次型化为标准型。f= 2x1x2+2x1x3+2x1x4-2x2x3+2x2x4+2x3x4

求问题答案和解题过程！

Answer 1

y1和y2只是代表变量的符号,

比如也可以写成

3x^2+3y^2

关键是系数必须分别取0,3,3

需要注意的是所用的变换

x=py

要与最终结论对应起来

若p的列向量分别属于特征值0,3,3

则结果就应该是3y2²+3y3²

f(x1,x2,x3) = (x1+x2)^2 + (x2+x3)^2 + (x1+x3)^2

设y1 = x1 + x2

y2 = x2 + x3

y3 = x1 + x3

然后用y表示x就行

x1 = 1/2 （y3-y2 +y1）

x2 = 1/2 (y1-y3+y2)

x3 = 1/2 (y1-y2+y3)

写成X = P Y

P就是所求正交变换。

扩展资料：

设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换，于是下面4个命题等价

1、σ是正交变换；

2、σ保持向量长度不变，即对于任意α∈V，丨σ(α)丨=丨α丨；

3、如果ε_1,ε_2,...,ε_n是标准正交基，那么σ(ε_1),σ(ε_2),...,σ(ε_n)也是标准正交基；

4、σ在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。

参考资料来源：百度百科-正交变换