Question

请教关于函数极限的问题

设f(x)>0，证明：若f(x)-->A(x-->x0)，则f(x)开n次方-->A开n次方(x-->x0)，其中n>=2.

Answer 1

分两种情况：

（I）A=0
即 f(x)-->0 (x-->x0)
即对任意 k>0 存在m>0使得当 |x-x0|<m时 |f(x)|<k.
固定p>0
令k=p^n, 则存在 m>0使得当 |x-x0|<m时 |f(x)|<k=p^n
则 |f(x)开n次方|< p
这就说明了 f(x)开n次方 --> 0 (x-->x0)

(II) A>0

由于当 a, b>0时，
|a^n - b^n| = |a-b| * (a^(n-1) + a^(n-2)b +...+b^(n-1))
>= |a-b| * b^(n-1)

令 a=f(x)开n次方，b=A开n次方，c=b^(n-1) 则a,b,c>0. 由上式得
|f(x)-A|/c >= |f(x)开n次方 - A开n次方| （**）

若f(x)-->A (x-->x0), 则对任意k>0，存在 m>0使得当 |x-x0|<m时 |f(x)-A|<k

固定p>0.
令k=pc
则存在m>0使得当|x-x0|<m时 |f(x)-A|<k = pc
由（**）知， |f(x)开n次方 - A开n次方| <= |f(x)-A|/c < p
所以 f(x)开n次方 --> A开n次方 (x-->x0)

Answer 2

连续函数求极限，直接得