联立方程的求解方法
2020-01-15 · 技术研发知识服务融合发展。
石根华介绍了一种新的联立方程的求解方法,即非零存储法,这种方法以图论为基础,是一种很高效率的直接解法,具有存储要求低、计算量少、避免出错的优点。
假定联立方程式系统是:
非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用
式中:A是一n×n系数矩阵;X是一n×1未知系数矩阵;F是一n×1自由项矩阵。
这些矩阵的元素仍是子矩阵:
矩阵A的元素Aij是q×q子矩阵;
矩阵X的元素Xi是q×1子矩阵;
矩阵F的元素Fi是q×1子矩阵。
这里,n是块体数且每个块体有6个未知数,因此q=6,子矩阵Aij,Xi及Fi分别是6×6、6×1及6×1子矩阵。
非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用
为推导解这些联立方程式的计算方法,我们先给定一个下三角形矩阵L,其每个元素Lij是一q×q子矩阵,在i<j处为侍桐零矩阵。
三角形分解方法假定A是三个矩阵相乘:
A=LD-1LT (3.81)
式中:
非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用
矩阵A分解为三个矩阵的乘积LD-1LT,简化了我们的计算,因为这些分量矩阵每一个都是对称矩阵或三角形矩阵。
令I是一个6×6矩阵:
I6×6=1 0 0 … 0 0 1 0 … 0 0 0 1 … 0︙ ︙ ︙ ︙ ︙0 0 0 … 1
则有:
非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用
方程式(3.81)重写为:
A=L(D-1LT) (3.84)
或:
非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用
在矩阵相乘公式(3.85)中,每个元素有它自己的子矩阵。元素子矩阵:
Lij,j≤i≤n
形成一个下三角矩阵L。为计算所有子矩阵Lij,矩阵相乘公式(3.85)在计算方法中重写如下:对i≥j或下三角部分,
非连续变形分析方法及其在地下工颤乱程中的应用
用公式(3.86)子矩阵Lij可随后算得:
非连续变形分析方法及其在地下茄谈档工程中的应用
设所有:
Lrs,r(n-1)+s < i(n-1)+j (3.88)
则:
非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用
可算出,因为:
Lik,Lkk,Ljk (3.90)
在方程式(3.89)的右边已经算得。
方程式:
AX=F
可转换为两个方程:
LY=F (3.91)
D-1LX=Y (3.92)
亦即:
非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用
则:
Y1,Y2,…,Yn-1,Yn
随后可算得。公式(3.93)叫做正向替换。
公式(3.92)是为计算未知数矩阵X的,
非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用
则:
Xn,Xn-1,…,Y2,Y1
随后可算得。公式(3.94)叫做反向替换。
2024-11-14 广告