Question

圆的二重积分

能给出解题过程？

Answer 1

广义极坐标变换：

x=a rcosθ，y=b rsinθ，直角坐标（x,y)极坐标（r,θ）

面积元素dxdy= a b r drdθ

面积＝θ：0-->2π，r:0-->1被积函数是abr的二重积分

＝∫【0,2π】dθ∫【0,1】abrdr

=2π＊ab*(1/2)

＝πab

二重积分的换元法：

设函数f(x,y)在xOy平面上的有界闭区域D上连续，变换T：，将uOv上的平面上的闭区域D'变为xOy平面上的闭区域D，且满足。

（1）在D'上具有一阶连续偏导数

（2）在D'上雅克比行列式：

（3）变换T：D'→D是一一对应的。

Answer 2

广义极坐标变换：

x=a rcosθ,y=b rsinθ,直角坐标(x,y) 极坐标（r,θ）

面积元素dxdy= a b r drdθ

面积= θ:0-->2π, r:0-->1 被积函数是abr 的二重积分

=∫【0,2π】dθ∫【0,1】abrdr

=2π*ab*(1/2)

=πab

意义

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。

当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

Answer 3

广义极坐标变换:
x=a rcosθ,y=b rsinθ,直角坐标(x,y) 极坐标（r,θ）
面积元素dxdy= a b r drdθ
面积= θ:0-->2π, r:0-->1 被积函数是abr 的二重积分
=∫【0,2π】dθ∫【0,1】abrdr
=2π*ab*(1/2)
=πab