Question

已知函数f(x)=x^2+bx+c，b c为实数，对于任意实数恒有,f'(x)≤f(x)

（1）证明：当x>=0 时，f(x)<=(x+c)^2
(2)若对于满足条件的任意b c ，不等式f(c)-f(b)<=M(c^2-b^2)恒成立，求M的最小值

Answer 1

解：

(1)

f(x)=x²+bx+c

f'(x)=2x+b

由题意，得

2x+b≤x²+bx+c恒成立

x²+(b-2)x+(c-b)≥0恒成立

∴(b-2)²-4(c-b)≤0

b²+4-4c≤0，即c≥1+ b²/4≥1，………………①

f(x)-(x+c)²=x²+bx+c-x²-2cx-c²=(b-2c)x+(c-c²)

∵b-c≤-b²/4+b-1=-(b/2 -1)²≤0

c-c²=c(1-c)在c≥1的范围内，恒为非负数

∴f(x)-(x+c)²在x≥0时，恒为非负数

即f(x)-(x+c)²≤0恒成立

即f(x)≤(x+c)²在x≥0时恒成立

得证

(2)

f(c)-f(b)=c²+bc+c-b²-b²-c=(c²-b²)+(bc-b²)=(c+b)(c-b)+b(c-b)=(c+2b)(c-b)

f(c)-f(b)-M(c²-b²)

=(c-b)(c+2b-Mc-Mb)≤0

∵c-b≥b²/4-b+1=(b/2-1)²≥0

∴如果上边的式子恒成立，则c+2b-Mc-Mb≤0，M≥(c+2b)/(c+b)=1 +1/【(c/b)+1】恒成立

当b＞0时，c/b≥1/b +b/4≥2*√[(1/b)(b/4)]=1，此时c/b +1≥2,1+ 1/【(c/b)+1】∈(1,3/2]

当b＜0时，c/b≤1/b +b/4≤-2√[(-1/b)(-b/4)]=-1，取等号时恒成立，不取等号时，此时c/b +1＞，1+1/【(c/b)+1】＞1，

当b=0时，c≥1，c(1-M)≤0恒成立，则1-M≤0，即M≥1恒成立

综上所述，M≥3/2时，以上所有情况恒成立

即M的最小值为3/2

谢谢