Question

若limf(x,y)不存在

高数题 请大家知道一二
判断下列命题是否正确,若正确给出证明,若错误请举出反例.
（1）若limf(x)不存在,limg(x)不存在,那么lim[f(x)+g(x)]一定不存在.
（2）若limf(x)不存在,limg(x)存在,那么lim[f(x)+g(x)]一定不存在.
（3）若limf(x)=0,limg(x)=0,则limg(x)/f(x)一定不存在.

Answer 1

简单分析一下即可，详情如图所示

Answer 2

下次要别人回答得给点分啥,不能老吃白食哦.
（1）是错的.假设f(x)为这样一个函数,当x为有理数的时候,取值1,当x为无理数的时候为0.g(x)是当x为有理数的时候取值-1,而为无理数的时候也取0,则limf(x)不存在,limg(x)不存在,但是lim[f(x)+g(x)]存在.
（2）是对的.如果lim[f(x)+g(x)]存在,且limg(x)存在,那么lim(-g(x)也是存在的,但是f(x) = f(x)+g(x)-g(x),从而limf(x)也存在,矛盾.从而lim[f(x)+g(x)]一定不存在.
（3）是错的.当x趋于0时,limsinx=0,limx=0,但是lim(sinx/x)=1存在.