Question

求解：已知函数f(x)=4cosxsin(x-π/3)-√3

已知函数f(x)=4cosxsin(x-π/3)-√3 (1)求函数f(x)在区间[π/4,π/2]的值域；(2)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若角C为锐角，f(C)=√3,且c=2，求△ABC面积的最大值。

Answer 1

第一个问题：
f（x）＝4cosx［sinxcos（π/3）－cosxsin（π/3）］－√3
＝4cosx［（1/2）sinx－（√3/2）cosx］－√3
＝2sinxcosx－2√3（cosx）^2－√3
＝sin2x－√3（1＋cos2x）－√3
＝2［（1/2）sin2x－（√3/2）cos2x］－2√3
＝2［sin2xcos（π/3）－cos2xsin（π/3）］－2√3
＝2sin（2x－π/3）－2√3。
∵π/4≦x≦π/2，∴π/2≦2x≦π，∴π/2－π/3≦2x－π/3≦π－π/3，∴π/6≦2x－π/3≦2π/3，
∴√3/2≦sin（2x－π/3）≦1，∴√3≦2sin（2x－π/3）≦2，
∴√3－2√3≦2sin（2x－π/3）－2√3≦2－2√3，∴－√3≦f（x）≦2－2√3。
∴f（x）在区间［π/4，π/2］的值域是［－√3，2－2√3］。
第二个问题：
你可能是忙中出错了！
∵f（x）＝2sin（2x－π/3）－2√3，∴f（C）＝2sin（2C－π/3）－2√3。
在锐角△ABC中，显然有0＜C＜π/2，∴0＜2C＜π，∴－π/3＜2C－π/3＜π－π/3，
∴－√3/2≦sin（2x－π/3）≦1，∴－√3≦2sin（2x－π/3）≦2，
∴－2√3≦2sin（2x－π/3）－2√3≦2－2√3，∴－2√3≦f（C）≦2－2√3＜0。
∴f（C）不可能为√3。
我估计是你将－√3写成了√3。
若是这样，则方法如下：
∵f（C）＝－√3，∴2sin（2x－π/3）－2√3＝－√3，∴2sin（2x－π/3）＝√3，
∴sin（2x－π/3）＝√3/2。
∵－π/3＜2C－π/3＜π－π/3，∴2C－π/3＝π/3，∴C＝π/3，∴sinC＝√3/2、cosC＝1/2。
由余弦定理，有：c^2＝a^2＋b^2－2abcosC＝a^2＋b^2－ab≧2√（a^2b^2）－ab＝ab。
∴ab≦c^2＝4。
∴△ABC的面积＝（1/2）absinC≦（1/2）×4×（√3/2）＝√3。
∴△ABC面积的最大值为√3。
注：请你认真核查原题，若原题中第二个问题不是我所猜测的那样，则请你补充说明。