Question

这个不定积分的递推公式怎么算的？

如图，第二小题的积分怎么算

Answer 1

∫dx/[(sinx)^n]
=∫(cscx)^n dx
=–∫(cscx)^(n–2) d(cotx)
=–cotx·(cscx)^(n–2)＋∫cotxd[(cscx)^(n–2)]
=–cotx·(cscx)^(n–2) –(n–2)∫(cscx)^(n–2)cot²xdx
=–cotx·(cscx)^(n–2)–(n–2)∫[(cscx)^n–(cscx)^(n–2)]dx
In=–cotx·(cscx)^(n–2)–(n–2)In+(n–2)I(n–2)
(n–1)In=–cotx·(cscx)^(n–2)+(n–2)I(n–2)
In=1/(n–1) ·[–cotx·(cscx)^(n–2)+(n–2)I(n–2)]
(n≥2)
I3=1/2·(–cotxcscx＋I1)
I1=∫cscxdx=ln|cscx–cotx|＋C
所以I3=∫dx/sin³x=1/2 ·(–cotxcscx＋ln|cscx–cotx|)+C

Answer 2

Answer 3

这个还得找，有关教师或者学生。