Question

有两道高中数学题，请教各位帮忙，谢谢，一道是三角函数求最值，一道是不等式证明题

1.a>b>c,求证a^2*b+b^2*c+c^2*a > a*b^2+b*c^2+c*a^2
2.三角形三边abc,a+b+c=6,b^2=a*c
⑴求角B和b边的最大值
⑵设三角形ABC面积为S，则 S+1/BA向量*BC向量 的最大值
谢谢各位，第一题已经证出来了，不过第二题第二问还有点问题，请各位多费心了，谢谢

Answer 1

1、设t=b-c s=a-c
把原不等式两边相减，得到
a^2*t-b^2*s+c^2*(s-t)=(c^2+2cs+s^2)*t-(c^2+2tc+t^2)*s+c^2*(s-t)=s^2*t-t^2*s=st*(s-t)>0
得证
2、(1)由a+b+c=6，得a+c=6-b，用均值不等式，6-b=a+c>=2倍跟号下ac=2b，解出b<=2
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
a^2+c^2>=2ac=2b^2
所以cosB<=1/2，B角最大值是60度
(2)s=1/2*a*c*sinB=1/2*b^2*sinB=2sinB
BA向量*BC向量=c*a*cosB=4cosB
所以原式=2sinB+1/(4cosB)，是两个增函数的和，所以当B=60度时取最大值
还有什么问题吗？

Answer 2

1.当a=0时有 0>b>c =>bc>0 =>b^2*c>c^2*b 不等式成立。
当b=0时有 a>0>c =>ac<0 =>c^2*a>a^2*c 不等式成立。
当c=0时有 a>b>o =>ab>0 =>a^2*b>b^2*a 不等式成立。
当a>b>c>0时有 ab>0 bc>0 ca>0 =>a^2*b>b^2*a b^2*c>c^2*b c^2*a>a^2*c
不等式成立。
当0>a>b>c时有 和上面类推不等式也成立。
综上不等式成立。

Answer 3

a^2*b+b^2*c+c^2*a > a*b^2+b*c^2+c*a^2

a^2*b+b^2*c+c^2*a - a*b^2-b*c^2-c*a^2
=(a^2*b-b*c^2)-(a*b^2-b^2*c)-(c*a^2-c^2*a)
=(a-c)[ab+bc-b^2-ac]=(a-c)[a(b-c)-b(b-c)]=(a-c)(a-b)(b-c)>0

没时间下午吧