Question

已知二次函数f(x)=x2+ax且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立,求。。。。

已知二次函数f(x)=x2+ax且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立。（1）求实数a的值。（2）利用单调性的定义证明f(x)在区间（1.+x）上是增函数。

Answer 1

1、根据题意
（1+X）^2+a(1+x)=（1-X）^2+a(1-x)
(4+2a)x=0任意的实数x都成立
所以4+2a=0,
a=-2
2、令x1>x2,且x1,x2在区间（1.+x）上,则x1-x2>0,x1+x2>2
则f(x1)-f(x2)=x1^2-2x1-x2^2+2x2=(x1-x2)(x1+x2-2)>0
所以f(x)在区间（1.+x）上是增函数

Answer 2

已知二次函数f(x)=x2+ax且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立
第一种解法：说明函数关于x=1对称。则-a/2=1,所以a=-2
第二种解法：直接计算（1+X）^2+a(1+x)=（1-X）^2+a(1-x)
可以得到a=-2
知道了函数的解析式，然后用单调性的定义证明应该不是难题。按基本格式走就可以。这个你可以推到出来。

Answer 3

(1) 这是一个对称函数，f（x）关于x=1对称，
f（x）=（x+a/2）^2-a^2/4
所以-a/2=1
a=-2
(2) 由于二次函数f（x）的开口向上，对称抽为x=1，所以在（1，+x）范围内是增函数。。。