Question

海伦一秦九韶公式如何证明？

Answer 1

海伦公式：若ΔABC的三边长为a、b、c，则\x0d\x0aSΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4(这是海伦公式的变形，“负号“－”从a左则向右经过a、b、c”，负号从x轴负轴向正轴扫描一个周期！我觉得这么记更简单，还设个什么l=(a+b=c)/2啊，多此一举！)\x0d\x0a证明：设边c上的高为 h,则有\x0d\x0a√(a^2－h^2)＋√(b^2－h^2)=c\x0d\x0a√(a^2－h^2)=c－√(b^2－h^2)\x0d\x0a两边平方，化简得：\x0d\x0a2c√(b^2－h^2)=b^2+c^2-a^2\x0d\x0a两边平方，化简得：\x0d\x0ah=√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))\x0d\x0aSΔABC=ch/2\x0d\x0a=c√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))/2\x0d\x0a仔细化简一下，得：\x0d\x0aSΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4\x0d\x0a\x0d\x0a用三角函数证明！\x0d\x0a证明：\x0d\x0aSΔABC=absinC/2\x0d\x0a=ab√(1-(cosC)^2)/2————（1）\x0d\x0a∵cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)\x0d\x0a∴代入（1）式，（仔细）化简得：\x0d\x0aSΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4