Question

14.求函数 z=xe^2y 在点P(2,1)处沿 (i)=(1,-1) 方向的方向导数

Answer 1

【题目】

【计算结果】

【计算思路】

1、先求∂z/∂x，∂z/∂y的偏导数；

2、再根据方向导数的定理，计算∂z/∂l值；

3、再将P(1,-1)代入∂z/∂l中，进行计算，得到方向导数值。

【计算过程】

【本题知识点】

1、方向导数。方向导数是在函数定义域的内点对某一方向求导得到的导数，一般为二元函数和三元函数的方向导数。方向导数可分为沿直线方向和沿曲线方向的方向导数。

2、方向导数的定义。

3、方向导数的定理

4、偏导数。在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。

偏导数的几何意义。偏导数 f'x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率；偏导数 f'y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。

高阶偏导数：如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f'x(x,y) 与 f'y(x,y) 仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。

注意：f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对 x 求偏导，然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导；后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导。当 f"xy 与 f"yx 都连续时，求导的结果与先后次序无关。

Answer 2

函数 z = xe^(2y)，我们需要求在点 P(2,1) 处沿 (i) = (1,-1) 方向的方向导数。
首先，我们需要计算该方向的单位向量。单位向量是方向向量除以其长度，即
(i) = (1,-1) / √(1^2 + (-1)^2) = (1,-1) / √2 = (1/√2, -1/√2).
接下来，我们需要计算函数在点 P(2,1) 处的梯度。梯度是函数在每个变量上的偏导数构成的向量，即
∇z = (∂z/∂x, ∂z/∂y).
对于函数 z = xe^(2y)，我们有：
∂z/∂x = e^(2y)，
∂z/∂y = 2xe^(2y)。
将点 P(2,1) 的坐标代入上述偏导数，我们有：
∂z/∂x = e^2，
∂z/∂y = 4e^2。
最后，我们可以计算方向导数。方向导数是梯度向量与单位向量的点积，即
D(i) = ∇z · (i) = (∂z/∂x, ∂z/∂y) · (1/√2, -1/√2) = (∂z/∂x)(1/√2) + (∂z/∂y)(-1/√2)。
将上述偏导数代入，我们有：
D(i) = (e^2)(1/√2) + (4e^2)(-1/√2) = (e^2 - 2e^2)/√2 = -e^2/√2。
所以，在点 P(2,1) 处沿 (i) = (1,-1) 方向的方向导数为 -e^2/√2。

Answer 3

简单分析一下，详情如图所示