Question

差分方程的解和微分方程的解有什么本质区别？

Answer 1

微分方程与差分方程的区别：

1、组成方式不同：

微分方程：表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程,称为微分方程。 
差分方程：含有自变量，未知函数或求知函数的差分的方程称为差分方程。

2、差分方程是微分方程的离散化：

大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解。用来描述物理过程的微分方程，以及由试验测定的初始条件也是近似的，这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决。

微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。

3、微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值。差分方程是一种递推地定义一个序列的方程式：序列的每一项目是定义为前一项的函数

微分方程与差分方程的联系：

微分方程转化差分方程：

如x'=ax+b

假设自变量是t,那么你的x'是对自变量t求导,更准确的写法是:
dx/dt=ax+b，那么根据导数的定义：dx/dt=lim {m->0} [x(t + m)-x(t)]/m，即函数值得增量除以自变量的增量。

那么编程差分方程是：[x(t + m)-x(t)]/m=ax(t)+b也就是x(t + m)-(am+1)x(t)=mb
这是关于x(t)和x(t+m)的差分方程,当然此处m不能太大,否则差分法方程不成立。

扩展资料：

差分方程的定理：

定理1（齐次线性差分方程解的叠加原理）

若y1(t），y2(t），…，ym(t）是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0的m个特解（m≥2），则其线性组合y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Amym(t）也是方程 的解，其中A1，A2，…，Am为任意常数。

定理2n阶齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0一定存在n个线性无关的特解。

定理3（齐次线性差分方程通解结构定理）

如果y1(t），y2(t），…，yn(t）是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0的n个线性无关的特解。

则方程的通解为：yA(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t），其中A1，A2，…，An为n个任意（独立）常数。

定理4（非齐次线性差分方程通解结构定理）

如果 (t）是非齐次线性方程yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2 +…+an-1(t)yt+1+an(t)yt=f(t）的一个特解，yA(t）是其对应的齐次线性方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0的通解。

那么，非齐次线性差分方程的通解为：y(t)=yA(t)+ (t)，即y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)+ (t），这里A1，A2，…，An为n个任意（独立）常数。

参考资料：

百度百科-微分方程

百度百科-差分方程