Question

等比数列的前n项和公式

Answer 1

等比数列是一种在数学里常见的数列，指数列中每一项与它前面的项之比相等。下面我们详细介绍等比数列的定义、性质和前n项和公式。
一、等比数列的定义
等比数列是指数列 $a_1, a_2, a_3, ……, a_n$ 中，每一项与前一项的比值都相等。即：
$$a_2/a_1 = a_3/a_2 = … = a_{n}/a_{n-1} = q (q ≠ 0) $$
其中，$a_1$ 被称为首项，$q$ 被称为公比。显然，若已知了 $a_1$ 和 $q$ ，就可以确定整个等比数列。
二、等比数列的性质
1、根据等比数列的定义，可得$a_n = a_{n-1}\cdot q = a_{n-2}\cdot q^2= … = a_1\cdot q^{n-1}$
2、若 $q > 1$ ,则该等比数列递增；若 $0 < q < 1$,则该等比数列递减；当 $q = 1$ 时，该数列为公差为零的等差数列。
3、若等比数列中有一项为零，则该等比数列后面的所有项都为零。
三、等比数列的前n项和公式
对于等比数列 $a_1, a_2, a_3, …, a_n$ , 其前 $n$ 项和为：
$$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + … + a_n $$
将等比数列中的每一项都用第一项与公比表示出来并加以整理，有：
$$\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_1q + a_1q^2 + … + a_1q^{n-1}\\ & = a_1 (1+ q + q^2 + … + q^{n-1}) \end{aligned}$$
这是一个等比数列的和公式，进一步进行求和，可以得到：
$$\begin{aligned} S_n &= a_1 (1 - q^n)/(1-q) \end{aligned}$$
其中，当 $q=1$ 时，$S_n=n\times a_1$。
上述公式适用于所有情况的等比数列。需要注意，在使用这个公式时，应确保分母不为零，否则公式无法计算等。
综上所述，等比数列的定义、性质和前n项和公式是初中和高中数学教育中重要的内容，尤其在数学奥赛中常常被使用。对于以上公式，学生需要深入理解并掌握运用方法，才能在实际问题中灵活地运用。
再拓展一下等差数列：等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。