Question

2.证明:若f(x),g(x)均在[a,b]上可积,则fg g在[a,b]上也可积

Answer 1

问：2.证明:若f(x),g(x)均在[a,b]上可积,则fg g在[a,b]上也可积

答：**证明：** 由于 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，所以它们的积分存在，即：$\int_{a}^{b} f(x) dx$ 和 $\int_{a}^{b} g(x) dx$ 都存在。 我们需要证明 $f(x)g(x)$ 在 $[a, b]$ 上也可积，也就是其积分存在。 根据可积的定义，我们需要证明：对于任意 $\epsilon > 0$，存在一个分割 $P$，使得：$S(f,g,P) - s(f,g,P) < \epsilon$ 其中 $S(f,g,P)$ 表示 $f(x)g(x)$ 在分割 $P$ 下的上和，$s(f,g,P)$ 表示 $f(x)g(x)$ 在分割 $P$ 下的下和。 我们可以利用 Cauchy-Schwarz 不等式来证明 $f(x)g(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积。

答：拓展资料对于任意分割P={x0,x1,x2,...,xn}，其中a=x0 < x1 < x2 < ... < xn=b。我们可以将fg在每个小区间[xi-1,xi]上进行估计：s(fg,[xi-1,xi]) ≤ ∫(xi-1到xi) fg(x)dx ≤ S(fg,[xi-1,xi])因为f(x)和g(x)在[a,b]上可积，所以它们在每个小区间[xi-1,xi]上也可积，因此积分存在，所以有：s(f,[xi-1,xi]) ≤ ∫(xi-1到xi) f(x)dx ≤ S(f,[xi-1,xi])s(g,[xi-1,xi]) ≤ ∫(xi-1到xi) g(x)dx ≤ S(g,[xi-1,xi])接下来，我们可以将fg的下和s(fg,P)和上和S(fg,P)进行如下估计：s(fg,P) = Σ [ i=1 到 n] s(fg,[xi-1,xi])≤ Σ [ i=1 到 n] ∫(xi-1到xi) f(x)g(x)dx≤ Σ [ i=1 到 n] S(f,[xi-1,xi])·S(g,[xi-1,xi])≤ (∫(a到b) f

答：因此，我们得到了：S(fg,P)-s(fg,P) ≤ fg - fg = 0因此，对于任意ε>0，都存在一个分割P，使得S(fg,P)-s(fg,P) < ε，这证明了fg在[a,b]上可积。