Question

已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)的四个根组成一个首项为1/4的等差数列,则|m-n|=

Answer 1

解：易知，这四个数必是1/4,x.2-x,7/4.===>2x=(1/4)+(2-x).===>x=3/4,2-x=5/4,∴m=7/16,n=15/16.或m=15/16,n=7/16.===>|m-n|=1/2.

Answer 2

由x2-2x+m=y可得，x1+x2=2，x1*x2=m
x2-2x+n=y得，x3+x4=2，x3x4=n
又首项为1/4，
不妨设x1=1/4，则x2=7/4
又x3+x4=2，则首项为x1，末项为x2
所以d=（7/4-1/4）/（4-1）=1/2
则可以求出m=7/16，n=15/16
|m-n|=1/2

Answer 3

方程(x²-2x+m)(x²-2x+n)=0可化为
x²-2x+m=0①，或x²-2x+n=0②，

不妨设1/4是方程①的根，
则将1/4代入方程①，可解得m=7/16，
∴方程①的另一个根为7/4.

设方程②的另一个根为s，t，(s≤t)
则由根与系数的关系知，s+t=2，st=n，
又方程①的两根之和也是2，
∴s+t=(1/4)+(7/4)
由等差数列中的项的性质可知，
此等差数列为1/4，s，t，7/4，
公差为[(7/4)-(1/4)] ÷3=1/2，
∴s=3/4，t=5/4，
即方程②的根为3/4和5/4，
∴n=st=(3/4)(5/4)=15/16.

因此，|m-n|=|(7/16)-(15/16)|=1/2.