Question

高数函数连续性间断点的判断。

(x^3-x) / sin兀x x<0
f(x)=
ln(1+x) + sin 1/(x^2-1)
的间断点是，并指出类型。

我想问的是x<0的情况（答案解答为：sin兀x=0可知x=-1,-2,-3.......为间断点
而x^3-x=x(x-1)(x+1)
所以x=-2,-3....为第二类间断点，
x=-1为第一类可去间断点。）第一类间断点不是要求左右极限存在么？对于x^3-x /sin兀x罗比达法则可得3x^2-1 / 兀cos兀x。不管x左右趋向于-1,-2,-3.....f(x)都存在极限且相等呀。所以-1,-2,-3.....都应该为可去间断点呀。哎，不明白，求解呀！

Answer 1

lim(x-> -1 ) （x^3-x）/ sinπx 【0/0 型极限】
=lim(x-> -1 ) （3x^2-1）/ πcosπx = -2/π
∴ -1是可去间断点。

注意罗比达法则仅在计算 0/0 或 ∞/∞ 型极限时成立，所以本题中k≠-1时，不能用罗必塔法则；

本题中当 x0 = -k (k≠1 ，k∈N+) 时，

lim(x-> -k ) x^3-x = (-k)^3 - (-k) = k-k^3 ≠ 0 (k≠1 ，k∈N+)
lim(x-> -k ) sinπx = 0
∴ lim(x-> -k ) （x^3-x）/ sinπx = ∞ (k≠1 ，k∈N+)

所以：-k (k≠1 ，k∈N+)，为函数无穷间断点即二类间断点， 而不是可去间断点。