Question

一道高中的函数数学题

定义在R上的函数f（x），对任意的实数x，y，恒有f（x）+f（y）=f（x+y）， 且当x＞0时，f（x）＜0. 又f（1）=-2/3
（1）求证，f（X）是奇函数
（2）求证：f（x）在R上是减函数
（3）求函数f（x）在【-3，3】上的值域 （主要是求出解析式很重要

Answer 1

解：（1）在恒等式f(x)+f(y) =f(x+y)，x，y∈R中，
令x=y=0，得f(0)=0，
再令y= -x，由f(0)=0，
得f(x)+f(-x)=0，即f(-x)= -f(x)
∴f(x)为R上的奇函数.

（2）设x1，x2∈R，且x1=x2+△x，（△x>0），
则x1>x2，
由f(x)为R上的奇函数及恒等式可知，
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=f(△x)
∵已知当x>0时，f(x)<0，且△x>0，
∴f(△x)<0，即f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2)，
由增减函数的定义可知，f(x)在R上为减函数.

（3）在恒等式f(x+y)=f(x)+f(y)中，由f(1)= -2/3，
令x=y=1，得f(2)= -4/3，
令x=1，y=2，得f(3)= -2
又f(x)为奇函数，∴f(-3)=2

∵f(x)在R上为减函数.
∴f(x)在[-3，3]上为减函数，
∴f(x)在[-3，3]上的最大值为f(-2)= 2，最小值为f(-3)= -2.
函数的值域为[-2，2].

Answer 2

在高中阶段，符合f（x）+f（y）=f（x+y）关系的只有一次函数。
（1）令x=y=0得：f(0)=o 令y=-x得，f(x)+f(-x)=f(0)=0 即f(x)=f(-x).
（2）设f(x)=ax 由f（1）=-2/3得a=-2/3.
下面的问题就能解决了吧

Answer 3

正愁着这么多步骤怎么打出来呢，往下一翻看见一楼的回答，很详细 ，佩服呀！！~~能打出这么长的！！！ 挺一楼~~~~

Answer 4

（1）令X=1,Y=O,则有，f(0)加f(1)=f(1),所以f(0)=0,令X=1,Y=-1,得f(1)=-f(-1),所以是奇函数。
（2）因为是奇函数，又有当x＞0时，f（x）＜0. 所以在R上是减函数。
（3）令X=1,Y=1,则f(2)=f(1)+f(1)=-4/3,所以f(3)=f(2)+f(1)=-2又他是奇函数，所以f(-3)=2所以其值遇是-2,2（闭区间）

Answer 5

f（x）+f（y）=f（x+y）
（1）令x=y=0得：f(0)=o 令y=-x得，f(x)+f(-x)=f(0)=0 即f(x)=-f(-x).
（2）设x1，x2∈R，且x1=x2+△x，（△x>0），
则x1>x2，
由f(x)为R上的奇函数及恒等式可知，
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=f(△x)
∵已知当x>0时，f(x)<0，且△x>0，
∴f(△x)<0，即f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2)，
由增减函数的定义可知，f(x)在R上为减函数.
在恒等式f(x+y)=f(x)+f(y)中，由f(1)= -2/3，
令x=y=1，得f(2)= -4/3，
令x=1，y=2，得f(3)= -2
又f(x)为奇函数，∴f(-3)=2

∵f(x)在R上为减函数.
∴f(x)在[-3，3]上为减函数，
∴f(x)在[-3，3]上的最大值为f(-2)= 2，最小值为f(-3)= -2.
函数的值域为[-2，2].