Question

如图,D是等腰RT三角形ABC的直角边BC上的一点,AD的垂直平分线EF分别交AC、AB、AD于E、O、F，BC=2。

如图,D是等腰RT三角形ABC的直角边BC上的一点,AD的垂直平分线EF分别交AC、AB、AD于E、O、F三点，BC=2，CD=2（根号2-1）。试说明四边形AEDF是菱形。

Answer 1

解：①在等腰Rt△ABC中，有AC=BC=2，
在Rt△ACD中，AD= AC2+CD2= 4+2= 6，
∵EF是AD的中垂线，
∴∠AOE=∠C=90°，AO= 12AD= 62，
∵∠AOE=∠C=90°，∠CAD=∠CAD（公共角），
∴△AOE∽△ACD，
∴AO：AC=AE：AD，
∴AE= AO•ADAC= 32．
②过D作DG⊥AB于G，BD=BC-CD=2-2（ 2-1）=2-2 2+2=4-2 2，
∵∠DGB=90°，∠B=45°，
∴△DGB是等腰直角三角形，
由DG=GB=BDsin45°=（4-2 2）× 22=2（ 2-1）=CD，
∴Rt△ADC≌Rt△AGD，
∴∠CAD=∠BAD，
∵EF是AD的中垂线，AF=FD，AE=ED，
∴∠CAD=∠BAD=∠ADE=∠ADF，
∴△AED≌△AFD，
∴AF=FD=AE=ED，
∴四边形AEDF是菱形．