Question

已知函数f(x)=[1/(2^x -1)+1/2]X^3，讨论f(x)奇偶性 并证明f(x)>0

Answer 1

因为 1/[2^(-x)-1]+1/2=2^x/(1-2^x)+1/2
=[-(1-2^x)+1]/(1-2^x)+1/2
=-1+1/(1-2^x)+1/2
=-1/2-1/(2^x-1)
=-[1+1/(2^x-1)]

所以 f(-x)={1/[2^(-x)-1]+1/2}(-x)^3
=-[1+1/(2^x-1)](-1)x^3
=[1+1/(2^x-1)]x^3
=f(x)
所以f(x)为偶函数

证明：（2^x-1≠0 => x≠0）
1、当x>0时 2^x-1>0 [1/(2^x -1)+1/2]>0 且 x^3>0 所以f(x)=[1/(2^x -1)+1/2]X^3>0
2、当x<0时
假设 1/(2^x -1)+1/2>=0 则有1/(2^x -1)>=-1/2 又因为 2^x-1<0
所以有 -(2^x -1)>=2 即 1-2^x>=2 => 2^x<=-1 这与 2^x>0矛盾
所以假设不成立 所以 1/(2^x -1)+1/2<0 且 x^3<0
因此f(x)=[1/(2^x -1)+1/2]X^3>0
综上所述 f(x)>0