Question

求解:计算下列极限

Answer 1

①
∵ x->0 时，1-cosx ~ x^2/2 ； sinx ~ x ，由等价无穷小量替换：
lim(x->0) [1-cosx]/xsinx
= lim(x->0) [x^2/2]/(x*x)
= 1/2

②
由重要极限：t->0时, (1+t)^(1/t) -> e
lim(x->∞) [1+1/3x]^x
=lim(x->∞) [1+(1/3x)]^[(3x)(1/3)]
=lim(x->∞) {[1+(1/3x)]^(3x)}^(1/3)
=e^(1/3)

③
由重要极限：t->0时, (1+t)^(1/t) -> e

lim(x->0) [1+tanx]^2cotx
=lim(x->∞) [1+tanx]^(1/tanx)*2
=lim(x->∞) {[1+tanx]^(1/tanx)}^2
=e^2

④
由重要极限：t->0时, (1+t)^(1/t) -> e

lim(x->0) [1-2x]^x
=lim(x->0) [1+(-2x)]^[1/(-2x)(-2)]
=lim(x->0) {[1+(-2x)]^[1/(-2x)]}^(-2)
=e^(-2)

Answer 2

没法插图片，只能直接说答案了：2；e的1/3次；e的平方；e的-2次

Answer 3

1/2 e的（1/3)次方 e的（2)次方 e的-2次方