Question

过二面角α-a-β外的一点P作PA⊥α于A,PB⊥β于B,已知PA=5,PB=8,AB=7，则这个二面角的大小是多少。

Answer 1

延伸平面APB与a相交于Q，

平面APB∩平面α=AQ，

平面APB∩平面β=BQ，

∵PA⊥平面α，a∈平面α.

∴PA⊥直线a,

同理，

PB⊥直线a，

PA∩PB=P，

∴a⊥平面PAQB，

∵AQ∈平面PAQB，

BQ∈平面PAQB，

∴AQ⊥a,BQ⊥a,

∴<AQB是二面角α-a-β的平面角，

而〈PAQ=〈PBQ=90°，

则〈AQB=180°-〈APB，

在三角形APB中根据余弦定理，

cos<APB=(AP^2+BP^2-AB^2)/(2AP*BP)=1/2,

<APB=60°,

<AQB=120°,

二面角的大小是120°.