Question

已知数列{an}满足a1=1,an+1=2^n+an,求数列{an}的通项公式

已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)=2^n+an,求数列{an}的通项公式
注：a(n+1)中n+1是a的下标
求高人相助，要过程，谢谢

Answer 1

形如a(n+1)=a(n)+f(n)时，常用累加法解决
a1=1,a(n+1)=an+2^n
∴a(n)-a(n-1)=2^(n-1)
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a4-a3=2^3
a3-a2=2^2
a2-a1=2
把式子两边分别相加，得：
a(n)-a1=2+2^2+^3+……+2^(n-1)
∵数列f(n)是以2为首项，以2为公比的等比数列
∴由等比数列的求和公式可得：
2+2^2+……+2^n=[2(1-2^(n-1))]/(1-2)
=-2+2^(n)
∴a(n)=f(n)+a1=2^n-1

Answer 2

an+1=2^n+an =2*2^n-2^n+an

an+1-2^(n+1)=an-2^n=a1-2^1=1-2=-1

an=2^n-1

Answer 3

解：
a(n+1)=2an
+1
a(n+1)+1=2an
+2
[a(n+1)+1]/(an
+1)=2，为定值。
a1+1=1+1=2
数列{an
+1}是以2为首项，2为公比的等比数列。
an
+1=2ⁿ
an=2ⁿ
-1
n=1时，a1=2-1=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=2ⁿ
-1。