Question

高分，有数学高手吗？

连续非负整数0，1，2，3，4......n(共n+1个数)，其中任何一个数均可以用数列（a1,a2,a3,a4......ai)中的2个数的和表示。在已知n的情况下，如何确定 i 的最小值，以及如何正确选定最合适的a1,a2,a3,a4......ai ?
比如，0，1，2，3，4.......9（此处共10个数），其中任何一个数都可以用数列（0，1，2，5，7）中2个数的和表示：0=0+0，1=0+1，2=1+1，3=1+2，.....9=2+7），此处 i =5。当 i 小于5时不能满足上述条件，所以当n+1=10时，i 的最小值为5。

试问：当n+1=100时，i 的最小值是多少？
当n+1=1000时，i 的最小值是多少？
......
已知n+1的情况下，有什么方法可以确定 i 的最小值呢？进一步，如何选定合适的a1,a2,a3...ai的值呢？

此题难度极高，本人不会做。看网上是否有数学牛人能够解答。先悬赏100分，若谁能给出正确答案并给出让人信服的解说，再奉上200分。
1、请各位看清题目。我在题目说0=0+0，1=0+1，2=1+1，实际上就已经告诉你们可以用重复的数，即4可以分解为2+2，所以不要再问我是否可以用重复的数；
2、题目不是你们想象的那么简单，请想仔细再回答。K个数，两两相加，可以得到（1+K）K/2 个数没错，但是别忘记了其中有重复的，比如上面数列中，2=1+1，也可以2=0+2；所以K个数两两相加，并不能得到（1+K）K/2个互不相同的数；这里矛盾是：要使两两相加得到的数各不相同，则它们必定不能覆盖非负数列0，1，2，3......n中的所有数；若要覆盖非负数列0，1，2，3，4......n中的所有数，则两两相加的数必定有重复的。而且，选择a1,a2,a3......ai的方法并非唯一的，根本难以说清楚里面究竟有多少个形如2==1+1，2=0+2这样重复的情况；
3、就拿上面的例子，数列可以为（0，1，2，5，7），也可以是（0，1，2，5，8），还可以是（0，1，3，4，6），就是说只有0和1是必须选的，其他是可以换的。但是不管怎样换，i 的最小值必定是5；
4、 eraqi回答得最好。美中不足的是没有证明这样得到的 i 就是最小的。谁能证明小于1+T+X 个数的数列，都不能满足题目条件吗？

Answer 1

我的思路是用 任意进制来解决

1)首先，二进制：
1就是001 2就是010 3就是011
4就是100 5就是101 6就是110
7就是111 8就是1000 ...
那么 0-63 可以用 0-32 表示，就33个数；

2)若用十进制，0-63 可以用0-9、10、20、30、40、50表示数，就15个数；

3)若用十六进制，0-9、A-F表示。3F就是3*16+15=63，那么
0-63的数就可以用0-9、A-F、10、20、30表示，转换成我们普通的数就是
0-15、16、32、48，就19个数；

4)若用 T+1 进制表示，0-XT 的数可用0-T、10、20、...、X0，转换成十进制后，就是0-(X+1)(T+1)-1要 1+T+X 个数

那么，若(X+1)(T+1)-1=n，那么需要 T+(n+1)/(T+1) 个数

补充：类似于f(x)=x+k/x的函数，当x=k/x的时候认为是最小的，这个其实不用怎么说明了吧。画图就知道！！
当 T+1 =根号(n+1)的时候最小；

当n+1=100时，取T=9,X=9用的数最少：0-9、10、20、30、40、50、60、70、80、90；
当n+1=256时，取T=16,X=9，也就是说0-255的数用26个数表示:0-15、16、48、64、80、96、112、128、144

5）证明i是最小的。
我个人认为，证明i是最小的，也就是说明这种思路求的i是最小的。
其实转换成不同的进制，只是我们将自然数代表成不同的形式而已。
在高等代数中有一章已经说明了：1、x^2、x^3、...、x^n可以做一组基，因为他们是极大线性无关的。也就是说1、10、100、1000、...可以作为一组基。那个依我个人的见解就是，取0-T、10、20、...、X0应该是最小的一组基。

最后，用进制表示数是一种形式，进制的一组极大线性无关组作为基，应该是最小的了。

6）以上都是我的个人见解，希望楼主启发！
最近有些忙，但还继续关注这题。

Answer 2

n+1=100时，i=19
n+1=1000时，i=109
当n+1=40时，i=13,之后n+1每增加10，i增加1.所以在已知n+1的情况下，
i=【(n+1)-40】/10 + 13，当然n+1如果不等于整十，按大于n+1的第一个整十算，例如，n+1=158623,则按n+1=158630计算。至于如何选定a1,a2,...ai的值，例如n+1=1000时，则数列A={a1,a2,a3,...ai}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,20,30,40,50,...ai},ai=1090=(n+1)-10.至于n+1=40时i=13，我是推算得到，
n+1=10时，i=5; a1=0 a2=1 a3=2 a4=5 a5=7
n+1=20时，i=8; a6=11 a7=15 a8=19
n+1=30时，i=10; a9=23 a10=27
n+1=40时，i=13. a11=31 a12=35 a13=39
正好n+1=40时，i=13，与数列{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，20，30}中的元素个数相等。
题目中举的这个例子 n+1=10时，i=5; a1=0 a2=1 a3=2 a4=5 a5=7 看似随便，其实不然。

Answer 3

重复的就减去 0=0+0 1=0+1 2=1+1
重复了1×3=3=0=N
最小值1

Answer 4

n+1=100时，i=19
n+1=1000时，i=109
当n+1=40时，i=13,之后n+1每增加10，i增加1.所以在已知n+1的情况下，
i=【(n+1)-40】/10 + 13，当然n+1如果不等于整十，按大于n+1的第一个整十算，例如，n+1=158623,则按n+1=158630计算。至于如何选定a1,a2,...ai的值，例如n+1=1000时，则数列A={a1,a2,a3,...ai}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,20,30,40,50,...ai},ai=1090=(n+1)-10.至于n+1=40时i=13，我是推算得到，
n+1=10时，i=5; a1=0 a2=1 a3=2 a4=5 a5=7
n+1=20时，i=8; a6=11 a7=15 a8=19
n+1=30时，i=10; a9=23 a10=27
n+1=40时，i=13. a11=31 a12=35 a13=39
正好n+1=40时，i=13，与数列{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，20，30}中的元素个数相等。
题目中举的这个例子 n+1=10时，i=5; a1=0 a2=1 a3=2 a4=5 a5=7

Answer 5

题意为取i使得数列能加和得到连续非负数。
当目标数组为0 a1=0
目标0,1/0,1,2: a1=0,a2=1
0,1,2.3/ .../4 :0,1,2
0,1,..5/6: 0,1,2,3或0.1.2.4或0.1.2.5
可以看到ai有两种，一种用于遍历，一种用于跨度如果有了0.1.2.3.4那么遍历范围为0~4，以4+1为跨度的组合比如9,14.19.24加上0.1.2.3.4就可以遍历0~28所有的数所以设遍历数为a跨度数为b，那么a*b+a-1≥n，即a（b+1）》n+1
而i=a+b， 有（i-b）（b+1）》n+1
而因为x²+y²》2xy，当且仅当x=y时取到等号，此时xy取到最大值有i=2b+1=2根号（n+1）+1

Answer 6

eraqi回答的很好，可惜是错的。错的很明显，那就是他只考虑了两位数的情况，而3位数的时候，我们不是用0-9,10,20,....100,110,120,而是直接100，200作为基。其他进制亦然，这样就使问题变复杂的多了，因为数字一大，在10进制里的5位数，在其他进制说不定只有4位数，3位数，或者7位数，8位数，这时候怎么选基就困难了。

lca001的回答也有问题，可以讨论一下。“ai-1≥n/2,否则n表示不出来”为什么啊，a_i≥n/2是对的，但是为什么a_i-1≥n/2呢？
反例比如0-8可以用0，1，3，4这个数列，其中a3=3<4=n/2啊。
然后你这个i(i+1)/2-1≥n+1就有问题了。