Question

这是一道关于极限的高等数学问题。老师说挺简单，可是我还是不懂。想请大家帮忙。谢谢。请写出详细的步骤

y=x^2.问＆等于什么，使当X－2的绝对值小于＆时，Y－4的绝对值小于0。001

Answer 1

【一】
① 对 ε=0.001>0 ，
要使： |x^2-4| < ε=0.001 成立，
令： |x-2|< 1 ，则：|x+2|=|4+(x-2)|≤ 4+|x-2|<5；
此时只要：|x^2-4|=|x+2|*|x-2|< 5*|x-2|<ε=0.001，
即满足：|x-2|<ε/5=0.001/5=0.0002
即只要：|x-2| < min{ 1 ,ε/5=0.0002} =0.0002 即可 ；

② 故存在 δ = 0.0002 > 0 ,

③ 当 |x-2|<δ 时，

④ 恒有： |x^2-4| < ε=0.001 成立。

【二】
求证：lim(x->2) x^2 = 4
证明：
① 对任意 ε>0 ，
要使： |x^2-4| < ε 成立，
令： |x-2|< 1 ，则：|x+2|=|4+(x-2)|≤ 4+|x-2|<5；
此时只要：|x^2-4|=|x+2|*|x-2|< 5*|x-2|<ε，
即只要：|x-2| < min{ 1,ε/5} 即可 ；

② 故存在 δ = min{ 1,ε/5} > 0 ,

③ 当 |x-2|<δ 时，

④ 恒有： |x^2-4| < ε 成立。

∴ lim(x->2) x^2 = 4

Answer 2

|y-4|<0.001
|x^2-4|<0.001
-0.001+4<x^2<0.001+4
1.9997499843730465697708029727336<x<2.000249984376952819877614500105
-0.000250015626953430229197027267<x-2<0.000249984376952819877614500105
|x-2|<0.000249984376952819877614500105约等于0.00025

Answer 3

X-2的绝对值小于&，所以（X-2）^2<&^2。所以X^2-4X+4<&^2,因为Y=X^2，所以Y<&^2+4X-4,所以Y-4<&^2+4X-8=&^2+4(X-2),当X略大于2时，Y大于4，&^2+4&=0.001,当X略小于2时，Y小于4，&^2-4&=-0.001,由于&很小，所以&^2相对于&是高阶的无穷小，解方程时可忽略不计。得4&=0.001,所以&=0.00025。

Answer 4

X-2>&，所以（X-2）^2<&^2。所以X^2-4X+4<&^2,因为Y=X^2，所以Y<&^2+4X-4,所以Y-4<&^2+4X-8=&^2+4(X-2),当X略大于2时，Y大于4，&^2+4&=0.001,当X略小于2时，Y小于4，&^2-4&=-0.001,由于&很小，所以&^2相对于&是高阶的无穷小，解方程时可忽略不计。4&=0.001,&=0.00025。