Question

设a为三阶矩阵，有特征值λ1，λ2，λ3，其对应的特征向量分别是ξ1=[1,0,0]，ξ2=[1,1,0]...

设a为三阶矩阵，有特征值λ1，λ2，λ3，其对应的特征向量分别是ξ1=[1,0,0]，ξ2=[1,1,0]，ξ3=[1,1,1]，求A^n

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Answer 1

令 P=(ξ1,ξ2,ξ3)=

1 1 1
0 1 1
0 0 1
则有 P^-1AP = diag(λ1,λ2,λ3)
所以 A = Pdiag(λ1,λ2,λ3)P^-1
A^n = Pdiag(λ1,λ2,λ3)^nP^-1
= Pdiag(λ1^n,λ2^n,λ3^n)P^-1
=
λ1^n λ2^n - λ1^n λ3^n - λ2^n
0 λ2^n λ3^n - λ2^n
0 0 λ3^n