Question

已知函数f（x）=x+ax+lnx，（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）有最值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a≥2时，若存在

已知函数f（x）=x+ax+lnx，（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）有最值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a≥2时，若存在x1、x2（x1≠x2），使得曲线y=f（x）在x=x1与x=x2处的切线互相平行，求证：x1+x2＞8．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵f（x）=x+

a

x

+lnx，（a∈R），
∴f′(x)＝1?

a

x2

+

1

x

＝

x2+x?a

x2

，x∈（0，+∞）．
由x²+x-a对应的方程的△=1+4a知，
①当a≤?

1

4

时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上递增，无最值；
②当?

1

4

＜a≤0时，x²+x-a=0的两根均非正，
因此，f（x）在（0，+∞）上递增，无最值；
③当a＞0时，x²+x-a=0有一正根x＝

?1+ 1+4a

2

，
当x∈(0，

?1+ 1+4a

2

)时，f′（x）＜0，f（x）在(0，

?1+ 1+4a

2

)上递减，
当x∈(

?1+ 1+4a

2

，+∞)时，f′（x）＞0，f（x）在(

?1+ 1+4a

2

，+∞)上递增．
此时f（x）有最小值．
∴实数a的范围为a＞0；
（Ⅱ）证明：依题意：