求函数y=(4-3sinx)(4-3cosx)的最小值

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wh2009270002
2015-07-15 · TA获得超过2969个赞
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  答案是7/2

  y=(4-3sinx)(4-3cosx)
  =16-12cosx-12sinx+9sinxcosx
  =16-12(sinx+cosx)+9sinxcosx
  以上就是y的展开式
  根据三角函数的关系可知:
  (sinx+cosx)²=sin²x+2sinxcosx+cos²x=1+2sinxcosx
  则sinxcosx=[(sinx+cosx)²-1]/2
  把上式代入y的展开式中,得到
  那么y=16-12(sinx+cosx)+9[(sinx+cosx)²-1]/2
  此时可以发现关于x这个变量只有sinx+cosx一种形式出现
  可以将(sinx+cosx)设为一个新的变量,设为a
  则y=16-12a+9a²/2-9/2
  =9a²/2-12a+23/2
  这是个二次函数,存在对称轴;且开口向上有最小值,那么:
  当a=-(-12)/(2*9/2)=4/3时y取最小值,a>4/3时y递增;a<4/3时y递减
  再观察a的性质:
  a=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
  则a∈[-√2,√2]
  由于4/3∈[-√2,√2]
  那么a可以取到4/3
  则y最小值就是a=4/3时,为7/2
戒贪随缘
2015-03-03 · TA获得超过1.4万个赞
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解:y=(4-3sinx)(4-3cosx)
即y=9sinxcosx-12(sinx+cosx)+16
设t=(sinx+cosx)=(√2)sin(x+π/4)
则-√2≤t≤√2 且sinxcosx=(t^2-1)/2

y=(9/2)(t^2-1)-12t+16
即y=(9/2)(t-4/3)^2+7/2 (-√2≤t≤√2)
得 t=4/3 即sinx+cosx=4/3时
y取最小值7/2

所以y=(4-3sinx)(4-3cosx)的最小值是7/2.

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