Question

设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为M，若M?[1，4]，求实数a的范围

设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为M，若M?[1，4]，求实数a的范围．

Answer 1

M?[1，4]有两种情况：其一是M=?，此时△＜0；其二是M≠?，此时△=0或△＞0，
分三种情况计算a的取值范围．
设f （x）=x²-2ax+a+2，有△=（-2a）²-4（a+2）=4（a²-a-2）．…（2分）
（1）当△＜0时，-1＜a＜2，M=??[1，4]．…（3分）
（2）当△=0时，a=-1或2．
当a=-1时，M={-1}?[1，4]，故舍去．
当a=2时，M={2}?[1，4]．…（6分）
（3）当△＞0时，有a＜-1或a＞2．
设方程f （x）=0的两根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，
那么M=[x₁，x₂]，由M?[1，4]可得 1≤x₁＜x₂≤4，故应有f（1）≥0，f（4）≥0，
且f （x）=0的对称轴x=a∈[1，4]，即

f(1)≥0，f(4)≥0 1≤a≤4，△＞0

，…（8分）
∴

?a+3≥0 18?7a≥0 1≤a≤4 a＜?1或a＞2

，解得2＜a≤

18

7

．…（10分）
综上可得，M?[1，4]时，a的取值范围是 （-1，

18

7

]．…（12分）