Question

设对于任意实数x、y，函数f（x）、g（x）满足f（x+1）=13f（x），且f（0）=3，g（x+y）=g（x）+2y，g（5

设对于任意实数x、y，函数f（x）、g（x）满足f（x+1）=13f（x），且f（0）=3，g（x+y）=g（x）+2y，g（5）=13，n∈N*．（Ⅰ）求数列{f（n）}、{g（n）}的通项公式；（Ⅱ）设cn=g[n2f(n)]，求数列{cn}的前n项和Sn；（Ⅲ）已知limn ∞2n+33n?1=0，设F（n）=Sn-3n，是否存在整数m和M，使得对任意正整数n不等式m＜F（n）＜M恒成立？若存在，分别求出m和M的集合，并求出M-m的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ι）取 x=n，则f（n+1）=

1

3

f（n）．
取x=0，得f（1）=

1

3

f（0）=1．．
故{f（n）}是首项为1，公比为

1

3

的等比数列，∴f（n）=(

1

3

)n?1．
取x=n，y=1，得g（n+1）=g（n）+2 （n∈N^*）．
即g（n+1）-g（n）=2．∴g（n）公差为2的等差数列．
又g（5）=13因此g（n）=13+2（n-5）=2n+3
即g（n）=2n+3                      …（4分）
（ΙΙ）c_n=g[

n

2

f(n)]=g[

n

2

?(

1

3

)n?1]=n(

1

3

)n?1+3．
∴S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=1+2?(

1

3

)+3(

1

3

)2+…+n(

1

3

)n?1+3n，

1

3

S_n=1?

1

3

+2?(

1

3

)2+3(

1

3

)3+…+n(

1

3

)n+n，两式相减得，

2

3

S_n=1+(

1

3

)+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n?1?n(

1

3

)n+2n
=

1?( 1 3 )n

1? 1 3

?n(

1

3

)n+2n
=

3

2

[1?(

1

3

)n]?n(

1

3

)