Question

已知关于x的方程x²-(a+1)x+b=0的两根分别是一直角三角形的两锐角的正弦值，且a-5b+2

已知关于x的方程x²-(a+1)x+b=0的两根分别是一直角三角形的两锐角的正弦值，且a-5b+2=0，则a，b的值分别为多少？

Answer 1

答：设直角三角形两个锐角为u、v，u+v=90°

sinv=cosu
依据题意，sinu、sinv是方程x²-(a+1)x+b=0的两个根
根据韦达定理有：

sinu+sinv=a+1>0
sinusinv=b>0
上两式转化为：
(sinu+cosu)²=(a+1)²

sinucosu=b

所以：1+2b=(a+1)²=a²+2a+1

所以：2b=a²+2a

因为：a-5b+2=0

所以：(a²+2a)/2=(a+2)/5

5a²+10a=2a+4

5a²+8a-4=0(5a-2)(a+2)=0
因为：a+1>0

所以：5a-2=0

解得：a=2/5

代入a-5b+2=0解得：b=12/25
综上所述，a=2/5，b=12/25