Question

已知函数f（x）=x2-2x+alnx+1有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）求实数a的取值范围，并讨论f（x）的单

已知函数f（x）=x2-2x+alnx+1有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）求实数a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（2）证明：f（x2）＞1?2ln24．

Answer 1

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=

2x2?2x+a

x

，
∵函数f（x）=x²-2x+alnx+1有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
∴f′（x）=

2x2?2x+a

x

=0有两个不同的根x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂，
∴

△＝4?8a＞0 1 2 a＞0

解得，0＜a＜

1

2

，
此时，f（x）在（0，x₁）和（x₂，+∞）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减；
（2）证明：由（1）知，
x₁+x₂=1，x₁x₂=

a

2

，则a=2x₂（1-x₂），
因此，f（x₂）=（x₂-1）²+alnx₂=（x₂-1）²+2x₂（1-x₂）lnx₂，（

1

2

＜x₂＜1）
令h（t）=（t-1）²+2t（1-t）lnt，（

1

2

＜t＜1）则
h′（t）=2（t-1）+[2（1-2t）lnt+2（1-t）]=2（1-2t）lnt，
∵

1

2

＜t＜1，∴1-2t＜0，lnt＜0，
∴h′（t）＞0，
即h（t）在（

1

2

，1）上单调递增，
则h（t）＞h（

1

2

）=

1?2ln2

4

，
即f（x₂）＞

1?2ln2

4

．