(1)(3分)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D．求证：AB 2 ＝AD·AC；(2)(4分)如图②，在Rt△A
(1)(3分)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D．求证：AB2＝AD·AC；(2)(4分)如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC...
(1)(3分)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D．求证：AB 2 ＝AD·AC；(2)(4分)如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F． ，求 的值；(3)(5分) 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点(点D不与B、C重合)，直线BE⊥ＡD于点E，交直线AC于点F。若 ，请探究并直接写出 的所有可能的值(用含n的式子表示)，不必证明．
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| (1)证明见解析(2)2(3) ①当点D在BC边上时，  的值为n 2 ＋n；②当点D在BC延长线上时， 的值为n 2 －n；③当点D在CB延长线上时， 的值为n－n 2 。 |
| 解：(1)证明：如图①，∵ BD⊥AC，∠ABC=90°，∠ADB＝∠ABC，
又∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC 。 ∴  ，∴ AB 2 ＝AD·AC。(2)如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G。  ∵ BE⊥AD，∴∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF。 又∵  ，∴AB＝BC＝2BD＝2DC，BD＝DC。 又∵∠BDE＝∠CDG，∴△BDE≌△CDG（AAS）。 ∴ED＝GD＝  。由(1)可得：AB 2 ＝AE·AD，BD 2 ＝DE·AD， ∴  。∴ AE＝4DE。∴ 。又∵CG∥BF，∴  。(3) ①当点D在BC边上时， 的值为n 2 ＋n；②当点D在BC延长线上时， 的值为n 2 －n；③当点D在CB延长线上时， 的值为n－n 2 。（1）由证△ADB∽△ABC即可得到结论。 （2）过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，由已知用AAS证△BDE≌△CDG，得到EF是△ACG的中位线，应用（1）的结论即可。 （3）分点D在BC边上、点D在BC延长线上和点D在CB延长线上三种情况讨论： ①当点D在BC边上时，如图3，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G。  ∵ BE⊥AD，∴∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF。 ∴△BDE∽△CDG。∴  。又∵  ，∴ ∴AB＝nBC，BD＝nDC，ED＝nGD。 ∴BC=（n＋1）DC，EG=  ED。由(1)可得：AB 2 ＝AE·AD，BD 2 ＝DE·AD， ∴  。∴ AE＝ DE。∴  。又∵CG∥BF，∴  。②当点D在BC延长线上时，如图4，过点C作CH⊥AD交AD于点H。  ∵ BE⊥AD，∴∠CHD＝∠BED＝90°，CH∥BF。 ∴△BDE∽△CDH。∴  又∵ ，∴ ∴AB＝nBC，BD＝nDC，ED＝nHD。 ∴BC=（n－1）DC，EH=  ED。由(1)可得：AB 2 ＝AE·AD，BD 2 ＝DE·AD， ∴  。∴ AE＝ DE。∴  。又∵CH∥BF，∴  。③当点D在CB延长线上时，如图5，过点C作CI⊥AD交DA的延长线于点I。  ∵ BE⊥AD，∴∠CID＝∠BED＝90°，CI∥BF。 ∴△BDE∽△CDI。∴  又∵ ，∴ ∴AB＝nBC，BD＝nDC，ED 
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