Question

已知y=f(x)是一次函数，且f(2),f(5),f(4)成等比数列，f(8)=15,求Sn

Answer 1

y=f(x)是一次函数
设F(X)=AX+B
则有 F(2)=2A+B,F(4)=4A+B,F(5)=5A+B,F(8)=8A+B=15 ==>B=15-8A
f(2),f(5),f(4)成等比数列
则有 (2A+B)(4A+B)=(5A+B)^2
8A^2+6AB+B^2=25A^2+10A+B^2
17A^2+4AB=0 ==>A(17A+4B)=0
B=15-8A
则有 A(17A+60-32A)=0 ==>A(60-15A)=0
==>A=0或者 A=4
A=0,F(X)不为一次函数,不合理,舍去
所以A=4,==>B=-17
F(X)=4X-17
F(0)=-17,
则S(N)=F(1)+F(2)+....+F(N)
=4(1+2+...+N)-17N
=4(N+1)N/2-17N=2N^2+4N+2-17N=2N^2-13N+2

Answer 2

y=f(x)是一次函数
设F(X)=aX+b
则有 F(2)=2a+b,F(4)=4a+b,F(5)=5a+b,
F(8)=8a+b=15 ==>b=15-8a
f(2),f(5),f(4)成等比数列
则有 (2a+b)(4a+b)=(5a+b)^2
8a^2+6ab+b^2=25a^2+10a+b^2
17a^2+4ab=0 ==>a(17a+4b)=0
b=15-8a 则有 a(17a+60-32a)=0 ==>a(60-15a)=0
==>a=0或者 a=4
a=0,F(X)不为一次函数,不合理,舍去
所以a=4,==>b=-17
F(X)=4X-17
F(0)=-17,
则S(N)=F(1)+F(2)+....+F(N)
=4(N+1)N/2-17N=2N^2+4N+2-17N=2N^2-13N+2