Question

已知数列{an}中，a1=1，前n项和为Sn，且点P（an，an+1）（n∈N*）在直线x-y+1=0上，（1）求数列{an}的通

已知数列{an}中，a1=1，前n项和为Sn，且点P（an，an+1）（n∈N*）在直线x-y+1=0上，（1）求数列{an}的通项公式；（2）求Tn=1S1+1S2+1S3+…+1Sn的值．

Answer 1

（1）由题意可知：a_n-a_n+1+1=0，
即a_n+1-a_n=1…（2分）
∴{a_n}是以a₁=1为首相，d=1的等差数列，
∴a_n=n…（4分）
（2）∵a_n=n，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=1+2+3+…+n
=

n(n+1)

2

．
∵Sn＝

n(n+1)

2

…（6分）
∴

1

Sn

＝

2

n(n+1)

＝2(

1

n

?

1

n+1

)…（8分）
∴Tn＝2(1?

1

2

+

1

2

?

1

3

+

1

3

?

1

4

+…+

1

n

?

1

n+1

)
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

2n+1

．
∴Tn＝

2n

n+1

…（12分）