Question

抽象代数题目求解，感谢！

在自学抽象代数，这里有几道关于抽象代数的几道题，表示有没有大神可以教教我=-= 万分感谢！

Answer 1

先试着翻译一下(这个题需要你翻一下离散数学里 关于群 子群的定义 和性质)：

1. h1和h2是群g的子群。  a。证明h1和h2的交集是群g的子群

                                       b 。给出一个实例h1和h2的并集不是群g的子群

   证明 h1包含于g,h2包含于g；

           假设h1交h2不包含于g：

           则令元素r属于h1交h2且不包含于g之集合

         ,故有r不属于g,又因r属于h1,

         故h1不包含于g,矛盾(同理h2不包含于g亦矛盾).

         故假设不成立,原命题得证

   举例：

    

2. 

Answer 2

1a 按子群的定义去证明即可，
H为G的子群《===》对任意a,b∈H, a·b^(-1)∈H。
本题即证明任给x，y∈H1∩H2，有x·y^(-1)∈H1∩H2
由于x，y∈H1，所以x·y^(-1)∈H1，同理x·y^(-1)∈H2
所以x·y^(-1)∈H1∩H2 ，H1∩H2 是G的子群。

1b G为整数加法群Z，H1=<2> ,H2=<3> 即H1为2的倍数，H2为3的倍数

H1和H2为子群，但H1∪H2不为子群，很明显5=2+3不属于H1∪H2
不满足封闭性。

2 证明写出来有点长，第一同态定理，建议你看看书，网上有很多中文的近世代数书
First homomorphism theorem
Let G and H be groups, and let φ: G → H be a homomorphism. Then:
The kernel of φ is a normal subgroup of G,
The image of φ is a subgroup of H, and
The image of φ is isomorphic to the quotient group G / ker(φ).
In particular, if φ is surjective then H is isomorphic to G / ker(φ).
证明建议你看看http://wenku.baidu.com/view/741069fec8d376eeaeaa312d.html

3就是证明Q对Z的商群的元素只有有限阶。
很简单 ，Q中任何一个元素可以写成 m/n 其中m和n 是整数
那么任给 r= m/n+Z ∈Q/Z
有nr=n(m/n+Z)=m+Z=Z=0+Z
即nr为Q/Z中单位元，r的阶为n，有限阶

证明H是G的子群且其指标【G：H】=2，证明H为G的正规子群
H是正规子群的定义是 任给g属于G，h属于H,有 g乘H乘g的逆=H
【G:H】=2,则|G/H|=2,设G/H={H,aH} ,则G=H∪aH，其中a不属于H
因为H在G中的指数为2,所以Ha,aH都是G的不同于H的子群,
所以必有Ha=aH成立. 所以aH(a的逆)=H
若g属于H，显然g乘H乘g的逆=H
若g属于aH，g=ab 其中b属于H ，呢么
g乘H乘g的逆=abH(b的逆)(a的逆)=aH(a的逆)=H

素数阶群一定是循环群。
设p为素数,|G|=p,
由于G的所有元素的阶都可以被p整除,故任取a∈G,
a的阶要么是1要么是p,只有单位元e的阶为1，自然G中必有阶为p的元素
设a的阶=p,如此a^p=e且e、a、a^2、a^3…a^(p-1)∈G是不同的p个元素
注意|G|=p,故G={1,a,a^2…a^(p-1)}=<a>, G是由生成元a生成的循环群.

Answer 3

64316134653262346435656