Question

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点分别为F1F2,短轴两个端点为A,B 且四边形F1

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点分别为F1F2,短轴两个端点为A,B 且四边形F1AF2B是边长为2的正方形
1 求椭圆的方程
2若CD是椭圆长轴的左右端点 动点M满足向量MD点乘向量CD等于0,连结CM交椭圆于P,证明向量OM点乘向量OP为定值(O为坐标原点)
(3)在(2)的条件下 x轴上是否存在异于点C的定点Q 使得以MP为直径的园恒过直线DP MQ的交点 若存在求出点Q的坐标

Answer 1

1、因为四边形F1AF2B是边长为2的正方形
所以c=√2 b=√2
a=2
得到椭圆方程为
x^2/4+y^2/2=1
2、设向量OM（2,b）
向量OC=(2,b)
MC的直线方程为y=k(x+2)
代入M（2,b) 得到k=b/4
即直线方程为y=b(x+2)/4
或写成4y/b=x+2
将两个解析式分别与椭圆方程联立,得到
(1+b^2/8)x^2+b^2x/2+b^2/2-4=0
根据韦达定理 x1x2=(4b^2-32)/(8+b^2)
已知x1=-2即C的横坐标,所以P的横坐标为(16-2b^2)/(8+b^2)
同理P的纵坐标为16b^2/(16b+2b^3)
所以向量OM与向量OP的乘积为
2*(16-2b^2)/(8+b^2)+b*16b^2/(16b+2b^3)
=(32+4b^2)/(8+b^2)=4
3、设Q(a,0)
因为要使以MP为直径的园恒过直线DP MQ的交点
所以PD垂直于MQ,即两者向量之积为0
OM（2,b） OP[(16-2b^2)/(8+b^2),16b^2/(16b+2b^3)]
可以得到
DP=[-4b^2/(8+b^2),8b/(8+b^2)]
MQ=(a-2,-b)
-4(a-2)b^2/(8+b^2)-8b^2/(8+b^2)=0
a=0
Q(0,0)