Question

1-1+1-1+1-1+1... 这个无穷数列的值是什么？如何证明？

Answer 1

1、格兰迪级数 1 − 1 + 1 − 1 + … 的和不存在。

2、格兰迪级数1 − 1 + 1 − 1 + … 的和为1/2。

证明：针对以下的格兰迪级数

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …

一种求和方式是求它的裂项和：

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.

但若调整括号的位置，会得到不同的结果：

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.

用不同的方式为格兰迪级数加上括号进行求和，其级数和可以得到0或是1的值。

格兰迪级数为发散几何级数，若将收敛几何级数求和的方式用在格兰迪级数，可以得到第三个数值：

S = 1 − 1 + 1 − 1 + …，因此

1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − 1 + 1 − 1 + … = S，即

2S = 1，

可得到S = 1/2。

扩展资料

数列的特征：

数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。

用符号{an}表示数列，只不过是“借用”集合的符号，它们之间有本质上的区别：1.集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。2.集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列，也就是必须是有序的。

著名的数列有斐波那契数列，三角函数，卡特兰数，杨辉三角等。

项数有限的数列为“有穷数列”（finite sequence）。

项数无限的数列为“无穷数列”（infinite sequence）。

Answer 2

　　你是在哪个领域接触到的这个问题呢？

　　一般情况下，我们说这个级数是发散的，无法求和。（通俗地说，级数就是数列的和）

　　一个级数能求和，当且仅当它是收敛的。

　　一个收敛级数，必要条件当n趋向∞时，an趋向于0。

　　而你这个数列显然不满足，因而不收敛，也就无法求和。

　　上面我们说了，这是一般情况，

　　另一方面，如果允许按某种特定的要求去求和的话，它是存在结果的，

　　例如，按照【欧拉和】或者【切萨罗和】的要求，

　　这个无穷级数的值均为1/2，也就是【二分之一】。

　　比较容易证明：

　　(1+x)(1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+...)=1

　　于是，1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+...=1/(1+x)

　　将x=1代入，

　　即可得到，

　　1-1+1-1+1-1+1-1+...=1/(1+1)=1/2

　　限于百度粘贴外来网址可能导致无法通过，我发张截图你看看吧。

　

　　建议点击放大看原图。

　　【经济数学团队为你解答！】

Answer 3

这个叫格兰迪级数，具体可自行百度. 下面给出我的证明. 首先，这个无穷数列有两个值可取，分别是0、-1，证明见下图.

所以，值只能为0或1，且各占50%的概率. 则值为0×50%+1×50%=0.5 以上计算过程可以理解为加权平均数求值（这个不解释，自行百度），得到该级数（无穷数列）的值为0.5

Answer 4

这是个发散数列
证明:对于任意充分大m=2k,n=2k+1,|x2k-x2k+1|=1>ε，故该数列发散。

Answer 5

1+1-1+1-1+1......
等于无数