Question

E是正方形ABCD的边AD的中点，F是DC上的点，且DF=四分之一CD，试说明EF⊥BE

Answer 1

设边长为a。

∵AE=1/2AD

∴AE=1/2a

∴AE：a=1：2

∵DF=1/4CD（1/4a）

∴DF=1/2AE

∴DF：AE=1：2

∵△ABE各边之比与△EDF相同

∴△ABE与△EDF互为相似三角形

∴角ABE=角DEF

  角AEB=角DFE

∴角BEF=180度-角DEF-角AEB 

       =90度

∴EF⊥BE

Answer 2

解：设正方形边长为1，则AE=1/2,DF=1/4
在RT角形ABE中，AB=1,AE=1/2，由勾股定理可知BE=根号下5/4。
同理，在RT角形EDF中，ED=1/2,DF=1/4，由勾股定理可知EF=根号下5/16; 在RT角形BCF中，BC=1,CF=3/4，由勾股定理可知BF=根号下25/16。
综上，在三角形BEF中，BE=根号下5/4，EF=根号下5/16，BF=根号下25/16，即BE平方+EF平方=BF平方，根据勾股定理可知EF⊥BE。
注：解题的关键在于反复应用勾股定理。

分数拿来吧...

Answer 3

证明：(一下2为平方的意思)
在直角三角形中，两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2=c2.(勾股定理)
由题意知：在△EDF中DF2+DE2=EF2
同理在△BFC中FC2+CB2=FB2
△AEB中 AE2+AB2=BE2
设DF=1
因为E是正方形ABCD的边AD的中点，F是DC上的点，且DF=四分之一CD

所以 DE=2 FC=3 CB=4 AE=2 AB=4
得出 EB2=20 EF2=5 BF2=25

因为EF2+FB2=BF2
由.(勾股定理逆定理)得出.△BEF为直角三角形 且EF⊥BE

Answer 4

∵AE=1/2AD
∴AE=1/2a
∴AE：AD=1：2
∵DF=1/4CD
∴DF=1/2AE
∴DF：AE=1：2
∵△ABE各边之比与△EDF相同
∴△ABE与△EDF互为相似三角形
∴角ABE=角DEF
角AEB=角DFE
∴角BEF=180度-角DEF-角AEB
=90度
∴EF⊥BE