Question

证明：任意一个奇函数总可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和。

Answer 1

证明：任意函数f(x)，构造两个函数，g(x)，h(x) 

其中：g(x)=(f(x)-f(-x))/2 h(x)=(f(x)+f(-x))/2

由于：g(-x)=(f(-x)-f(x))/2=-g(-x) h(-x)=(f(-x)+f(x))/2=h(x) 

所以g(x)为奇函数，h(x)为偶函数。

g(x)+h(x)=(f(x)-f(-x))/2 + (f(x)+f(-x))/2 = f(x)。

所以得证: 任意一个奇函数g(x)总可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和。

即：任意一个奇函数总可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和。

扩展资料

例：以下说法正确的是（）。

①定义在R上的任一函数，总可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和；

②若f（3）=f（-3），则函数f（x）不是奇函数；

③对应法则和值域相同的两个函数的定义域也相同；

④若x1是函数f（x）的零点，且m＜x1＜n，那么f（m）•f（n）＜0一定成立。

分析：①设f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，则f（-x）=g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x），

两式联立得，g（x）=f(x)-f(-x))/2，h(x)=(f(x)+f(-x))/2 ，所以①正确。

②若函数f（x）是奇函数，则有f（-3）=-f（3），若f（3）=f（-3），则必有f（3）=f（-3）=0，所以当f（3）=f（-3）=0，函数有可能是奇函数，所以②错误。

③当函数的定义域和对应法则相同时，函数的值域相同，但值域相同时，定义域不一定相同，比如函数f（x）=x2，当定义域为[0，1]时，值域为[0，1]，当定义域为[-1，1]时，值域为[0，1]，所以③错误。

④若x1是函数f（x）的零点，则根据根的存在性定理可知，f（m）•f（n）＜0不一定成立，比如函数f（x）=x2的零点是0，但f（m）•f（n）＞0，所以④错误。

故答案为：①

Answer 2

供参考。

追问

这两个举例用的函数是怎么想到的

追答

教科书上习题

追问

这个只能死记吗

追答

证明一下，不用背也能记住。

追问

谢谢

追答

You're welcome!(不用谢！)

Answer 3

设这个奇函数为f（x），则f（x）=（f（x）+f（-x）-f（-x）+f（x））/2

=（f（x）+f（-x））/2+（f（x）-f（-x））/2
根据定义知前者为偶函数后者为奇函数